Zeszyt w cyrkle

Tekst powstawał w innym celu, ale edukacyjnie na “jak wkręcać dzieci” czytelnikom nada się akuratnie.

Postaram się wyjaśnić w sposób obrazkowy, z cyrklem, wręcz “dla dzieci” (powiedzmy, że mam kontakt ze specyficznymi dziećmi) o co w metrykach chodzi z path integral, odległością i granulacją w reżimie ultrametrycznym. Bo HMFoDG może być trudne do przełknięcia.
Będzie tu oczywiście wiele uproszczeń i asumpcji, które w teorii kategorii wynikają, a nie są założeniami, ale konstrukcję metryk i przestrzeni na podstawie zbioru pominę aby nie zagmatwać. Wyjaśnienia w HMFoDG są tymi właściwymi.

Skupię się na kwestii jak stosować path integral, po co i czym to jest. Będzie nieco odniesień do wyobrażeń z fizyki, aby było łatwiej osobom, które nie operują bezpośrednio na abstraktach w postaci formuł.

Będę się starał z całych sił nie komplikować.

Najpierw zdefiniujemy pewne trywia.

—-Prosta—-
Przyda nam się do pracy jakaś definicja prostej, taka żeby miała jakieś argumenty do operacji.
Przyjmijmy sobie roboczo, że prosta to taka krzywa, która zachowuje zbieżnie swój wektor styczny.
Krzywa γ: I → ℝⁿ (lub na rozmaitości) jest prostą (lub jej odcinkiem) wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje kierunek wektora stycznego, czyli:
Wersja najprostsza (parametryzacja naturalna lub liniowa):
γ'(t) = const (wektor styczny jest stały).

Wersja bardziej ogólna (dowolna parametryzacja):
wektor styczny γ'(t) jest równoległy do siebie wzdłuż krzywej, tzn.
D/dt T(t) = 0,
gdzie T(t) to wektor styczny (np. unit tangent), a D/dt oznacza pochodną kowariantną (w ℝⁿ sprowadza się to do zwykłej pochodnej).
To jest równoważne zerowej krzywiźnie (κ = 0).

Na potrzeby geometrii, w tym fizyce jest to wystarczająco dobre podejścia, ponieważ
Prosta to jedyna krzywa, która nie zmienia kierunku – nie „zakręca”.
W geometrii afinicznej/euklidesowej prosta jest dokładnie geodezyjną o zerowym przyspieszeniu krzywiznowym.
W teorii krzywych: krzywa jest prosta ⇔ jej wektor styczny jest równoległy transportowany wzdłuż siebie.

Na razie nie kłopoczmy się krzywizną, krzywą metryki ani jej granulacją. Bo będzie za głęboko.

Ponieważ zawsze wypisać jakieś przykłady (dzieciaki uwielbiają przykłady aby zobrazować o czym w ogóle jest dyskusja, wtedy im się włącza “aha!”) to:
Przykłady
γ(t) = (x₀ + at, y₀ + bt, z₀ + ct) → γ'(t) = (a, b, c) = const → prosta.
Krzywa kołowa γ(t) = (cos t, sin t) → γ'(t) = (-sin t, cos t) zmienia kierunek → nie prosta.
Helisa – wektor styczny kręci się → nie prosta.

Na potrzeby tego wywodu chowamy linijki i przyjmujemy, że prosta linijka nie istnieje, ponieważ nie jesteśmy bez dozy sceptyzymu wykazać, iż jest ona absolutnie prosta, za to mamy cyrkle i one są trudniejsze do podważenia.

—-Łuk—-

Przyjmijmy sobie płaszczyznę, na razie prosty przypadek (zaraz to zgeneralizujemy), gdzie na okręgu o promieniu 1 wybieramy dwa punkty (jakieś, nie szczególne i złośliwe w odległość 2r);
Możemy wyliczyć od nich odległość po prostej, oraz po tym okręgu (czyli to co stosujemy na początek rachunku zespolonego. więc od razu sobie zastosujemy). Uzyskujemy wtedy dwie wartości odległości po okręgu jedną CW i jedną CCW.

Formalnie rozpisalibyśmy to tak:
Niech dwa dowolne punkty na okręgu o promieniu r = 1 będą reprezentowane w płaszczyźnie zespolonej jako liczby zespolone z₁ i z₂ spełniające warunek |z₁| = |z₂| = 1.
Bez utraty ogólności (bo obrót całego układu nie zmienia odległości) możemy przyjąć:
z₁ = 1, z₂ = e^{i θ},
gdzie θ ∈ (0, 2π) jest kątem centralnym między punktami (kąt nie jest „złośliwy” ani specjalny – formuły działają dla dowolnego θ, w tym gdy odległość po prostej wynosi prawie 2r).
Odległość euklidesowa (prosta między punktami, cięciwa) wtedy brzmi zgodnie ze szkolną formułką:
d = |z₁ – z₂| = |1 – e^{i θ}| = √((1 – cos θ)² + (sin θ)²) = √(2 – 2 cos θ).
Używając tożsamości trygonometrycznej:
d = 2 |sin(θ/2)|.
O odległość po łuku.
Są dokładnie dwie możliwości przejścia po okręgu:
W kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (CCW, counterclockwise):
s_{CCW} = θ (dla r=1).
W kierunku ruchu wskazówek zegara (C / CW, clockwise):
s_C = 2π – θ.
Zawsze zachodzi s_{CCW} + s_C = 2π (pełny obwód).
I uogólniamy:
Uogólnienie na dowolny promień r > 0
Skalujemy wszystko liniowo przez r:
Odległość po prostej:
d = 2r |sin(θ/2)|.
Długości łuków:
s_{CCW} = r ⋅ θ, s_C = r ⋅ (2π – θ).

—-Prosty łuk—-

Ponieważ możemy dwa punkty połączyć dowolnie dużym okręgiem o promieniu większym lub równym odległości euklidesowej między punktami, to wystarczająco duży okrąg będzie na przebiegu między punktami będzie miał tak infinitezymalną zmianę kierunku, że trudno będzie odróżnić ten odcinek od prostej.

Niech dwa dowolne punkty A i B w płaszczyźnie będą ustalone, a ich odległość euklidesowa wynosi d = |A − B| > 0.
Dla każdego promienia r ≥ d/2 istnieją dokładnie dwa okręgi o promieniu r, które przechodzą przez oba punkty (jeden „z góry”, drugi „z dołu” odcinka AB).
Kąt centralny θ(r) dla takiego okręgu spełnia równanie cięciwy:
d = 2r sin(θ/2) ⟹ θ(r) = 2 arcsin(d/(2r)).

Długość łuku między A i B (krótszego) wynosi wtedy:
s(r) = r · θ(r) = 2r arcsin(d/(2r)).
Granica przy r → ∞
lim_{r→+∞} s(r) = lim_{r→+∞} 2r arcsin(d/(2r)).

Użyjmy podstawienia u = d/(2r), więc gdy r → ∞, to u → 0⁺, a r = d/(2u). Wtedy:
s = 2 · (d/(2u)) · arcsin(u) = d · (arcsin(u)/u).

Wiemy, że:
lim_{u→0} (arcsin(u)/u) = 1,
więc ostatecznie:
lim_{r→+∞} s(r) = d · 1 = d.
Czyli długość łuku dąży dokładnie do długości odcinka prostego.

Możemy rozwinąć w szereg Taylora dla małego u:
arcsin(u) = u + (1/6)u³ + (3/40)u⁵ + O(u⁷),
więc:
s(r) = 2r ( d/(2r) + (1/6)(d/(2r))³ + ⋯ ) = d + (d³)/(24 r²) + O(1/r⁴).

Różnica między łukiem a prostą wynosi więc:
s(r) − d ≈ d³/(24 r²) (dla bardzo dużego r).
To pokazuje, że zbieżność jest rzędu 1/r² – bardzo szybka.

Geometrycznie:
Przy r = d/2 (okrąg o średnicy AB) mamy θ = π, łuk = π d/2 ≈ 1.57d.
Przy r = d kąt θ ≈ 60°, łuk ≈ 1.047d.
Przy r = 10d łuk jest już tylko o ok. 0.04% dłuższy od prostej.
Przy r = 1000d różnica jest rzędu 10^{-6}.

Gdy promień jest bardzo duży w porównaniu do odcinka, łuk jest nieodróżnialny od prostej – zarówno pod względem długości, jak i lokalnego kierunku (krzywizna κ = 1/r → 0).

————————————

Tu kończymy trywia jakimi się posługujemy, oczywiście można je uogólnić na sferę, co jest konieczne, ale przyjmuję, że są to banalne konsekwencje zwiększenia liczby wymiarów. A na tablicy tak jest łatwiej tłumaczyć.

Przyjmijmy, że chcemy przeprowadzić naszą możliwie prostą linię nie mając linijki. Algebraicznie. Chcemy aby suma po jej kierunku (czyli całka po kierunakch) wynosiła zero odchyleń z A do B. Czyli aby zachowane były transformacje.
Musimy więc wyznaczyć punkt pośredni w połowie drogi i nakreślić dwa łuki od nieskończenie wielki okręgów, które się zniosą kierunkowo. Generalizując musimy nakreślić nieskończenie wiele bardzo krótkich łuków o nieskończenie wielkich promieniach, aby ciężko było przyłapać w dowolnym punkcie, że coś tu się z kierunkiem nie zgadza.

Formalnie to przebiega tak:
Życzymy sobie skonstruować krzywą od A do B algebraicznie (lub konstrukcyjnie tylko za pomocą cyrkla + limit), taką że:
* całkowita zmiana kierunku (całkowita krzywizna) wynosi zero:
∫_A^B κ(s) ds = Δφ = 0,
* lokalnie w każdym punkcie trudno „przyłapać” odchylenie od stałego kierunku (krzywizna κ(s) jest wszędzie nieskończenie mała),
* transformacje (translacje i rotacje) są zachowane – kierunek początkowy i końcowy jest identyczny.

1. Przypadek bazowy: punkt pośredni + dwa kompensujące się łuki
Wyznaczamy algebraicznie punkt pośredni:
M = (A + B)/2.
Niech długość AB = d, każdy segment ma długość d/2.
Wybieramy bardzo duży promień R ≫ d. Konstruujemy:
* Łuk AM o promieniu R i krzywiźnie κ₁ = +1/R (np. skręt w lewo),
* Łuk MB o tym samym R i krzywiźnie κ₂ = −1/R (skręt w prawo – kompensacja).

Kąt skrętu każdego łuku:
θ = d/(2R) (bardzo mały dla dużego R).

Całkowita zmiana kierunku:
Δφ = κ₁ · (d/2) + κ₂ · (d/2) = (1/R)·(d/2) − (1/R)·(d/2) = 0.

Kierunek tangenty na starcie (w A) i na końcu (w B) jest identyczny (zachowana orientacja). Odchylenie geometryczne od prostej (strzałka, sagitta) dla każdego łuku:
h ≈ ((d/2)²)/(8R) = d²/(32R) → 0 gdy R → ∞.

W limitach R → ∞ oba łuki „spłaszczają się” do odcinka prostego, a krzywizna lokalna ±1/R → 0 – nie da się przyłapać żadnego odchylenia.

2. Uogólnienie: nieskończenie wiele mikro-łuków o nieskończenie wielkich promieniach
Podzielmy odcinek [0, d] na 2n równych części (dla parzystości – łatwiej kompensować). Punkty pośrednie:
P_k = A + (k/(2n))(B − A), k = 0,1,…,2n.

Dla każdej małej części Δs = d/(2n) rysujemy mikro-łuk o promieniu R_n ≫ d (np. R_n = n² d albo większym), z naprzemiennymi znakami krzywizny:
κ_k = (−1)^k · (1/R_n).

Wtedy:
* Całkowita zmiana kierunku w każdej parze łuków znosi się dokładnie do zera.
* Globalnie:
Δφ = ∑_{k=0}^{2n−1} κ_k · Δs = 0.
* Lokalnie, na dowolnym odcinku długości δs, maksymalna zmiana kierunku:
|Δφ_lokalny| ≤ δs / R_n → 0 gdy n → ∞, R_n → ∞.

W granicy n → ∞ i R_n → ∞ (w odpowiednim tempie, np. R_n ≥ n³ d) krzywa γ(s) spełnia:
κ(s) = 0 ∀ s ∈ [0, d],
czyli jest dokładnie linią prostą (jedyna krzywa o zerowej krzywiźnie i łącząca A z B).

3. Musimy zachować transformacje, dlatego dbamy o ten kierunek;
* Kierunek tangenty jest stały (nie ma kumulacji skrętów).
* Krzywa jest niezmiennicza względem translacji i rotacji całego układu (jak prosta).
* Algebraicznie: w płaszczyźnie zespolonej z(s) = A + s · e^{i φ_0} (kierunek φ_0 ustalony), a nasza aproksymacja ma arg(z′(s)) stałe w granicy.

To jest konstrukcja „czysto algebraiczna” – nie potrzebujemy linijki, tylko cyrkla do rysowania okręgów i operacji na współrzędnych (lub konstrukcji geometrycznych na midpointy). W praktyce przy bardzo dużych R i wielu łukach „nie da się przyłapać” odchylenia w żadnym punkcie – lokalna zmiana kierunku jest mniejsza niż dowolna zadana dokładność.

————————————

Jeśli na tym etapie dostrzegamy “granulację”, albo ta pofalowana linia zaczyna przypominać coś z fizyki to intuicja nie zawodzi, ale jeszcze się nie rozpędzajmy. Aby dać się nabrać na to iż linia jest prosta (a nasza przestrzeń ciągła, więc topologia istnieje) musi istnieć taka najmniejsza skala pomiędzy odwróceniami grzbietu łuku, która jest mniejsza od maksymalnej rozdzielczości z jaką możemy ten łuk próbkować. Oznacza to, że jeśli przyjmiemy k-wymiarową przestrzeń (ale 2d na tablicy dobrze oddaje ogólną koncepcję) to nasza bezwymiarowa linia pomiędzy punktami pomiaru sugeruje posiadanie “szerokości”. Nie jakiejś konkretnej, ale można wyznaczyć maksymalną badając linię długo i skrupulatnie.
Różnica pomiędzy 2d a więcej wymiarów jest jedynie taka, że te oscylacje muszą być bardzo gęste i cały czas zmieniać “kierunek”, z którego dobieramy środek okręgu.

Przyjmijmy jednak, że pomiędzy punktami kreślimy dokładnie tyle okręgów ile jest wymiarów (wyłącznie dlatego, że więcej się ich nie nakreśli więc spokojnie możemy wskazać iż kreślimy ich nieskończenie wiele, a więcej niż k-wymiarów jest po prostu stratą czasu). Naturalnie w 2d będą to dwa okręgi o nieskończonym promieniu leżące po przeciwnych stronach prostej przebiegającej przez dwa punkty.

Skupmy się jednak na fakcie, że istnieje okrąg o najmniejszym promieniu zawierającym dwa punkty (r == połowie odległości euklidesowej między punktami), i największym promieniu (nieskończonym). Krzywizna po wszystkich musi sumować się zawsze tak aby jak wyżej zachować kierunek z odchyleniem zero.
Otóż ten najmniejszy promień generuje nam wyłącznie jeden okrąg (możemy go nakreślić dwukrotnie ale to nic nie wniesie). I nie ma sensownego algorytmu wyboru czy kreślimy tam ścieżkę CW czy CCW. Pozostaje użyć obu na raz.
Mamy więc sumę kierunków po nieskończonej liczbie okręgów między dwoma punktami, ale jeden z nich jest szczególny i nie pozwala na rozstrzygnięcie. Jest to również okrąg najdalej odbiegający od prostej euklidesowej swoją krzywizną ścieżki, jednak z całą pewnością wybierając obie (CW i CCW) zachowany kierunek uparcie wynosi zero.

Możemy też w ramach intelektualnego ćwiczenia uwzględnić zamiast tej części najkrótszej po okręgu tę wprost przeciwną. Jeśli pomiędzy punktami nakreślimy ich dość to idealnie przypomina to linie sił pola.
A suma kierunkach wszystkich punktów wszystkich okręgów aby wynosiła zero będzie nam wyjątkowo przypominać path integral.

Formalnie:
Niech A, B ∈ ℝ^k będą dwoma punktami o odległości euklidesowej d = ‖B − A‖ > 0. Rozważamy aproksymację geodezyjnej (prostej) przez superpozycję łuków okręgów przechodzących przez A i B.

1. Rodzina okręgów i parametryzacja

Przestrzeń wszystkich okręgów przechodzących przez A i B jest (k−1)-wymiarowa (środek okręgu leży na prostopadłej hiperpłaszczyźnie do AB w punkcie środkowym). Dla uproszczenia widzialnego na tablicy pracujemy w ℝ², ale uogólnienie jest proste.

Promień r spełnia r ≥ d/2. Dla każdego r istnieje dokładnie dwa okręgi (po obu stronach odcinka AB). Kąt centralny:

θ(r) = 2 arcsin(d/(2r)) ∈ (0, π].

Krzywizna łuku:
κ(r) = 1/r.

Długość łuku (krótszego):
s(r) = r ⋅ θ(r) = 2 r arcsin(d/(2r)).

2. Granulacja i efektywna szerokość

Rozważmy aproksymację prostej jako superpozycję oscylacji naprzemiennych z charakterystyczną skalą odwrócenia λ (odległość między kolejnymi zmianami znaku krzywizny). Aby krzywa wyglądała na prostą przy rozdzielczości pomiarowej δ, musi zachodzić:
λ ≪ δ.

Efektywna „grubość” (amplituda poprzeczna) całej konstrukcji dla skończonego R_max i gęstości oscylacji n (liczba par łuków) wynosi:

w_eff ≈ max_k (Δs_k)²/(8 r_k) ≈ d²/(32 R_min) + O(1/n²),

gdzie R_min to najmniejszy rozważany promień. W granicy n → ∞, R_max → ∞ przy jednoczesnym λ → 0 otrzymujemy w_eff → 0, ale przy skończonej rozdzielczości linia ma mierzalną szerokość.

W k-wymiarach oscylacje muszą być realizowane w (k−1) kierunkach prostopadłych do AB. Wystarczające jest wzięcie dokładnie k niezależnych „płaszczyzn oscylacji” (każda z nich to 2D-płaszczyzna zawierająca AB), ponieważ dalsze kierunki są liniowo zależne.

3. Suma krzywizn po wszystkich okręgach

Definiujemy miarę na rodzinie okręgów. Niech parametr u = d/(2r) ∈ (0,1]. Wtedy r = d/(2u), κ = 2u/d, θ = 2 arcsin u.

Całkowita zmiana kierunku (całkowita krzywizna) dla pojedynczego łuku:
Δϕ(r) = ± κ(r) ⋅ s(r) = ± θ(r) = ± 2 arcsin(d/(2r)).

Dla najmniejszego okręgu (r = d/2, u = 1):
θ = π, Δϕ = ± π.

Nie ma kanonicznego wyboru znaku → bierzemy oba (+ i –) jednocześnie. Ich wkład się znosi:
Δϕ_diam⁺ + Δϕ_diam⁻ = π − π = 0.

Dla całej rodziny definiujemy sumę (lub całkę) z wagą μ(r) (miara na przestrzeni okręgów):
ΔΦ_total = ∫_{r=d/2}^∞ [μ₊(r) ⋅ (+θ(r)) + μ₋(r) ⋅ (−θ(r))] dr,

gdzie μ± to gęstości dla obu stron. Przy symetrycznym wyborze μ₊(r) = μ₋(r) dostajemy ΔΦ_total = 0 dla dowolnej symetrycznej miary μ.

W szczególności dla miary invariantnej względem skalowania (naturalnej w tym kontekście) można wziąć du/u lub dr/r². W obu przypadkach wkład się kompensuje.

4. Przypadek „długiego łuku” i linie sił

Zamiast brać krótszy łuk θ(r), bierzemy dłuższy: 2π − θ(r). Wtedy zmiana kierunku dla jednego kierunku:
Δϕ_long(r) = ± (2π − θ(r)).

Suma po obu stronach i po wszystkich r daje efekt podobny do obwiedni pola wektorowego (lub linii sił), ponieważ dłuższe łuki „obejmują” coraz większe obszary. W granicy ciągłej suma krzywizn z obu kierunków tworzy coś analogicznego do:
∇ × F lub ∫ κ ds = 0 (warunek zamkniętości pętli fazowej).

5. Bezpośrednia analogia z path integralem

Path integral Feynmana dla amplitudy propagacji od A do B:
K(B,A) = ∫_{γ: A→B} D[γ] exp(i/ℏ S[γ]),

gdzie S[γ] = ∫ L(γ, γ̇) dt.

W naszym obrazie każda „ścieżka” γ_r to łuk okręgu o promieniu r. Akcja (lub faza) jest proporcjonalna do całkowitej zmiany kierunku (lub długości łuku). Warunek Δϕ_total = 0 odpowiada stacjonarności akcji (zasada najmniejszego działania) lub konstruktywnej interferencji.

Gdy sumujemy po wszystkich r z odpowiednią miarą (w tym po obu orientacjach CW/CCW), dominujący wkład w granicy ℏ → 0 (lub R_max → ∞) pochodzi od konfiguracji z κ ≈ 0, czyli od prostej.

Matematycznie można to zapisać jako:
Ψ(B) = ∫_{r=d/2}^∞ μ(r) [e^{i α θ(r)} + e^{-i α θ(r)}] dr ≈ ∫ μ(r) ⋅ 2 cos(α θ(r)) dr,

gdzie α jest stałą proporcjonalną do 1/ℏ. Dla dużych r (małe θ) cosinus ≈ 1, a wkład jest maksymalny – dokładnie jak w przybliżeniu stacjonarnej fazy.

———————————————–

Rozważmy jednak, że rysujemy na naszej kartce takich pofalowanych linii wiele, kładziemy kartkę na stole i wczuwamy się w każdą linię, czyli przystawiamy nos do początku naszej linii i zgodnie z jej kierunkiem (do wyboru są dwa) przesuwamy dzioba. Inne okręgi które widzimy przestają być z tego punktu widzenia tak całkiem okrągłe.
Mamy więc tu transformację finslerowską, kierunkowo zależną.
Konkretnie stosujemy projekcję z widoku “globalnego. “Niemożliwego, gdyż nie można tak popatrzeć na kartkę by okręgi mające różne punkty centralne były w danej projekcji okrągłe, tylko te ze środkiem pokrywającym się z centrum naszej projekcji takim jest. I przechodzimy do odległości zero, czyli równej z kartką.
Ten ostatni krok to widok finlsera w reżimie ultrametrycznym, okręgi zmieniają się w linie (w przypadku 2d), a w przypadku k-wymiarów w ich odpowiednik. Co jednak istotne z punktu widzenia kartki (bo uwzględniliśmy więcej wymiarów niż kartka posiada w naszej projekcji z prostego faktu, że omawialiśmy widok z góry, którego to wymiaru na kartce nie ma) te linie muszą wystawać “nad kartkę” również z powodu poprzednio omawianego path integral. Skoro jakiś wymiar uwzględniamy to muszą go też uwzględniać nasze proste, mimo, że umieściliśmy je na jednej płaszczyźnie (kartce).

Gdybyśmy jednak tego widoku “z góry” (absolutnego jednak nie mieli i byłby niedostępny), reżim ultrametryczny byłby dla nas jedynym i wtedy grubości “poza kartkę” by nie było. Więc nasz problem nadmiarowego wymiaru wynika jedynie z początkowo błędnej perspektywy absolutnego kreślarza z dostępem spoza naszego kartkowego świata.

Przyjmijmy, że nasza kartka jest trójwymiarowa i od razu będzie prościej – to są normalne mechanizmy każdego runtime 3d, jeśli nie uwzględnimy czasu.
Czas dodajemy jako 4 wymiar co nie jest zaskakujące dla żadnego gracza w strzelanki, że Dooma włączył po szkole, i nagle jest ranek.

Dość istotną kwestią jest, że w takim rzucie, że dane są relatywne względem projekcji (macierzy kamery). A świat z każdej kamery jej inwersją (technicznie kamera jest inwersją świata, ale nie zgłębiamy programowania). I każda kamera ma własny rzut, a więc widzi obiekty w innym rozmiarze rzutowanym na płaszczyznę 2d ekranu zgodnie z transformacjami geometrycznymi przeprowadzanymi przez vertex shader.

Przyjmując, że naszym polem oddziaływania/obserwacji/detekcji nie jest płaszczyzna, a sfera, to kierunkowa zależność projekcji (strzałka czasu, każdy ma ją lokalnie i każdy swoją) z powodu zależności kierunkowej zmienia nam równania ruchu z riemanowskich na finslerowskie. Lokalnie one są dążące do granicy geometrycznej przypadku szczególnego (Rieman), ale globalnie mogą się rozjeżdżać do Finslera.
Lokalnie oznacza dokładnie tak jak wcześniej z okręgiem na tablicy “w naszej osi projekcji kierunkowej”. Im większy kąt od tejże osi tym bardziej okręgi stają się elipsami. Aż do granicy ultrametrycznej kiedy przestają być ciągłymi liniami i granulują w serie punktów niepołączonych topologią inną, niż nasze wyobrażenie, że należą do tej samej sekwencji i gdybyśmy tam się skierowali z naszą osią projekcji bliżej to widzielibyśmy linię.

Formalizacja brzmiałaby jakoś tak:
Niech A, B ∈ ℝ^k będą ustalonymi punktami, d = ‖B − A‖. Rozważamy rodzinę aproksymacji geodezyjnej AB przez superpozycje łuków okręgów, jak poprzednio. Teraz wprowadzamy zmianę obserwatora (punktu widzenia) i związane z nią transformacje geometryczne.

1. Globalny vs lokalny obserwator – projekcja
W układzie globalnym („z góry kartki”) każdy okrąg o promieniu r i środku C jest idealnym okręgiem w metryce euklidesowej:
‖X − C‖ = r.
Przechodzimy do lokalnego obserwatora poruszającego się wzdłuż krzywej γ(s) (naszej pofalowanej linii). Niech T(s) = γ'(s)/‖γ'(s)‖ będzie lokalnym wektorem stycznym (kierunek „dzioba”).
W tym układzie współrzędnych, w którym oś e₁(s) = T(s), a pozostałe osie ortonormalne dopełniają bazę, metryka staje się kierunkowo zależna – prototyp Finslera.

Dla punktu X leżącego na innym okręgu o środku C ≠ punkt projekcji, promień widziany lokalnie jest zniekształcony. Odległość Finslera w kierunku v (z ‖v‖ = 1) definiujemy jako:
F(x,v) = inf{λ > 0 : λv ∈ B_x},
gdzie B_x jest jednostkową „kulą” w metryce lokalnej w punkcie x.

W naszym przypadku, gdy obserwator „przykleja nos” do γ(s), okręgi o środkach nie leżących na osi projekcji przestają być okrągłe:
* W płaszczyźnie zawierającej T(s) i wektor do środka – stają się elipsami (lub hiperelipsami w wyższych wymiarach).
* Stopień spłaszczenia rośnie z kątem α między osią projekcji a wektorem do C:
e(α) = 1/cos α (w przybliżeniu perspektywicznym).

2. Reżim ultrametryczny – granica projekcji „z zerowej odległości”
Rozważmy limit, w którym obserwator znajduje się dokładnie na krzywej (dystans poprzeczny → 0) i porusza się z prędkością lokalną.

Wtedy każdy okrąg o skończonym promieniu r < ∞ i środku nie leżącym na bieżącej stycznej, w lokalnej metryce „nosem na kartce”, degeneruje się do linii prostej (w 2D) lub hiperpłaszczyzny (w k-D) prostopadłej do kierunku ruchu.

Matematycznie: niech ρ(x,y) będzie metryką euklidesową. Definiujemy metrykę zależną od kierunku:
d_F(x,y; v) = lim_{ε→0} (1/ε) inf{γ: γ(0)=x, γ(ε)=y, γ'(0)∥v} L(γ),

gdzie L jest długością w sensie Finslera.
W granicy ultrametrycznej (gdy rozdzielczość poprzeczna δ_⊥ → 0) spełnione jest silne nierówności trójkąta:
d_F(x,z; v) ≤ max(d_F(x,y; v), d_F(y,z; v)).
To jest dokładnie ultrametryczność – metryka drzewiasta / nie-archimedesowa.

3. Nadmiarowe wymiary i „wystawanie poza kartkę”
Ponieważ rozważaliśmy konstrukcję w k-wymiarowej przestrzeni, ale „kartka” jest 2-wymiarowa (lub 3-wymiarowa w Twoim przykładzie), dodatkowe wymiary prostopadłe do płaszczyzny kartki muszą się manifestować jako składowe poprzeczne oscylacji.

Path integral (suma po wszystkich okręgach) wprowadza naturalną amplitudę w kierunkach prostopadłych:
Ψ(x_⊥) ∼ ∫ 𝒟r μ(r) exp(i α ∫ κ(r,s) ds) ⋅ ϕ(x_⊥, r),

gdzie x_⊥ to współrzędne poprzeczne do lokalnej stycznej.

W efekcie linia nie jest zerowej grubości – ma rozkład prawdopodobieństwa / amplitudy w (k−1) wymiarach prostopadłych. Nawet jeśli umieścimy wszystkie łuki geometrycznie na jednej „kartce”, ich wkład path-integralny „wystaje” w dodatkowe wymiary.

Gdy przyjmujemy, że kartka jest 3-wymiarowa (prawdziwy papier ma grubość), a czas jest czwartym wymiarem (parametr ewolucji obserwatora), to:
* Projekcja z lokalnej kamery (macierz projekcji P(kamera)) jest zależna od kierunku czasu/strzałki obserwatora.
* Metryka staje się jawnie Finslerowska:
F(x,y,v) = √[g_{ij}(x,v) v^i v^j],
gdzie tensor g_{ij}(x,v) zależy od kierunku v (przez zniekształcenie eliptyczne okręgów pod kątem).

4. Przejście Riemannian → Finsler
* Lokalnie (kąt α ≈ 0, oś projekcji ≈ kierunek stycznej): elipsa degeneruje do okręgu, g_{ij}(x,v) jest izotropowe → metryka Riemanna.
* Globalnie (duże α): elipsy stają się bardzo spłaszczone, a w granicy ultrametrycznej (α → π/2) okręgi „rozpadają się” na dyskretne punkty w metryce obserwatora – nie ma ciągłej topologii łączącej je w jeden okrąg, dopóki nie zmienimy osi projekcji.

W tym reżimie równania geodezyjne stają się równaniami Finslera:
d/ds (∂F/∂v^i) − ∂F/∂x^i = 0,
które lokalnie redukują się do geodezyjnych Riemanna, ale globalnie dopuszczają niestandardowe zachowanie (np. nagłe „skoki” w ultrametrycznej topologii).

—————————————-

Gdybyśmy teraz puścili play, to nie dowiemy się czy linie są ciągłe czy nieciągłe, czy topologia istnieje czy nie istnieje. Czy reżim jest riemanowski czy ultrametryczny, oraz czy po drodze przechodzi płynnie. W większości równań stosujemy rachunek ciągły z przyczyn algebraicznych, w szkole uczymy się operacji na ciele R, ma ono swoje wady hurwitzowskie, operacje są symetrycznie odwaracalne, bezstratne. Dlatego operowanie na rachunku ruchu, który dąży do ultrametryki jest początkowo nieintuicyjne. Już na etapie finslera zauważycie, że inercja jest za darmo, jako własność rachunku. Za to reżim ultrametrycnzy i granulację bardzo łatwo posmakować (i macie na to uczulenie) gdy spadają fpsy, albo gra laguje. Nagle widzimy serię pocztówek zamiast ciągłości.
Nasze łuki są zmieniaone w pixele, a w fizyce mówimy o falach. Gdy puszczamy play widzimy płynność (taktowaną maszyną pixelozę szybciej od naszych zmysłów oszukując nas wrażeniem następująych po sobie obrazów jako płynność).
W fizyce tę granulację infinitezymalną wiążemy ze skalą Plancka (zaznaczam skalą, to nie jest doległość, mimo że tak jest to przedstawiane często jako czas Plancka czy odległość, to jest skala rozdzielczości obserwacji i jest ona jak najbardziej relatywistyczna).
Działają zarówno równania ciągłę (relatywistyka) jak i granulowane (mechanika kwantowa).
Dość ciężko znaleźć sweetspot gdzie działa na raz jedno i drugie. Ale że oba działają to wiemy.
Potrzebujemy więc takiej transformacji naszej “tablicy danych”, która jest niezależna od metryki.
Nie możemy więc decydować się na euklidesa z Riemanem, Finslera (zawierającego Riemana jako przypadek szczególny) czy ultrametrykę (zupełna granulacja). Musimy w teorii kategorii pójść nieco niżej i na bazie posiadanych danych (z detektorów bo nic lepszego nie mamy niż posiadane dane zebrane w zbiór) zbudować graf, wyciągnąć sprzężenia i zagregować sobie taką perspektywę, która nas ukontentuje spełniając zarówno pierwszy, jak i drugi warunek.
A to oznacza, że nie dostaniemy globalnego, absolutnego widoku (bo takiego nie ma i od czasów relatywistyki jakoś się z tym oswoiliśmy), tylko jakąś agregację sąsiedztwa w grafie, który będąc n-arnym (wszystko widać) nie może nas jednocześnie zasypać wszystkimi danymi (przyjmijmy, że jest nieskończony i byłoby to nieskończenie wiele informacji).

Formalnie:
Niech γ: I → M będzie parametrizowaną krzywą (naszą „linią” zbudowaną z superpozycji łuków okręgów), gdzie I ⊂ ℝ jest przedziałem czasu parametru, a M jest przestrzenią (początkowo ℝ^k, potem uogólnioną). „Puszczenie play” oznacza wprowadzenie dynamiki poprzez parametr czasu t ∈ I, czyli rozważanie ewolucji obserwatora wzdłuż γ(t).

1. Dynamika i niepewność metryki (ciągłość vs granulacja)
Gdy włączamy parametr czasu, trajektoria γ(t) jest obserwowana przez lokalnego detektora. Nie mamy a priori dostępu do tego, czy:
* metryka jest ciągła (topologia Hausdorffa, metryka Riemanna),
* czy granulowana (topologia nie-Hausdorffa, ultrametryczna).

Formalnie: niech ρ będzie kandydatem na metrykę. Dla dowolnego ε > 0 i punktów x = γ(t), y = γ(t + Δt) nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć, czy
lim_{Δt → 0} ρ(x,y)/Δt istnieje i jest skończona (reżim ciągły)
czy też
ρ(x,y) = 0 dla pewnych „skoków” przy skończonym Δt (granulacja ultrametryczna).

W praktyce (symulacja numeryczna lub detektory fizyczne) widzimy jedynie dyskretną sekwencję próbek {x_i = γ(t_i)}_{i ∈ ℤ}. Płynność jest iluzją wynikającą z Nyquista-Shannona: jeśli częstotliwość próbkowania f_s ≫ częstotliwość Nyquista lokalnych oscylacji krzywizny, to seria „klatek” (pixeli) jest interpretowana jako ciągłość.

2. Wady rachunku na ℝ i przejście do Finslera
Standardowy rachunek różniczkowy i całkowy operuje na ciele ℝ (lub ℝ^n z metryką euklidesową). Z twierdzenia Hurwitza (o algebrach z dzieleniem) wiemy, że jedyne normowane algebry z dzieleniem nad ℝ to ℝ, ℂ, ℍ, 𝕆. Operacje są symetrycznie odwracalne i bezstratne tylko w tych przypadkach – nie ma „strat” informacji przy mnożeniu/dzieleniu.

W reżimie Finslera metryka zależy od kierunku:
F(x,v) > 0 dla v ≠ 0, F(x, λv) = |λ| F(x,v),

i jest silnie wypukła. Geodezyjne spełniają równania
d/ds (∂F²/∂v^i) − ∂F²/∂x^i = 0.

Kluczowa własność: inercja jest wbudowana za darmo. Ponieważ F(x,v) jest jednorodna stopnia 1 w v, nie ma potrzeby osobnego wprowadzania masy ani tensora inercji – zachowanie pędu wynika bezpośrednio z jednorodności Lagrange’a L = F(x, ẋ). W przeciwieństwie do Lagrange’a klasycznego L = (1/2) m g_{ij} ẋ^i ẋ^j, tutaj nie ma osobnego czynnika masy.

3. Granulacja i ultrametryczność w dynamice

W reżimie ultrametrycznym metryka spełnia silną nierówność trójkąta:
d(x,z) ≤ max(d(x,y), d(y,z)).

Wtedy topologia jest zerowymiarowa w sensie Hausdorffa: kule są jednocześnie otwarte i zamknięte, a ciągłość funkcji jest równoważna lokalnej stałości.

Analogia z symulacjami: gdy FPS spada poniżej progu percepcji (np. < 30 Hz), trajektoria rozkłada się na dyskretną sekwencję „pocztówek” (stany x_i), między którymi nie ma interpolacji ciągłej. W fizyce granulację infinitezymalną utożsamiamy ze skalą Plancka ℓ_P ≈ 1.616 × 10^{-35} m (lub t_P), ale traktujemy ją jako skalę rozdzielczości obserwacyjnej, nie sztywną granicę ontologiczną. Jest ona relatywistyczna: zależy od lokalnego układu odniesienia i energii detektora.

Oba reżimy (ciągły relatywistyczny i granulowany kwantowy) są jednocześnie poprawne, ponieważ:
* lokalnie (na skalach ≫ ℓ_P) równania redukują się do Riemanna,
* globalnie (lub przy wysokich energiach) dopuszczają granulację.

4. Metryka-niezależna transformacja tablicy danych

Nie możemy z góry wybrać metryki (euklidesowa/Riemannowska/Finslerowska/ultrametryczna). Zamiast tego budujemy strukturę niezależną od metryki na bazie surowych danych z detektorów.

Niech 𝒟 = {d_i} będzie zbiorem surowych odczytów detektorów (zdarzeń: pozycja, kierunek, czas, amplituda). Definiujemy kategorię zdarzeń 𝒞:
* Obiekty: elementy d_i ∈ 𝒟.
* Morfizmy: relacje „sąsiedztwa” d_i → d_j jeśli detektory rejestrują spójność (np. zgodność w kierunku stycznym, ciągłość amplitudy path-integralowej, lub zerowa różnica fazy).

Następnie agregujemy do grafu skierowanego G = (V, E):
* Wierzchołki V = 𝒟 (lub ich klasy równoważności pod relacjami ekwiwalencji detektorów).
* Krawędzie E ważone miarą spójności w_{ij} (np. amplituda path-integralna ∫_{γ_{ij}} exp(i S[γ]) 𝒟γ).

Graf jest n-arny (każdy wierzchołek może mieć dowolną liczbę sąsiadów, w tym nieskończenie wiele w limitach ciągłych). Nie ma globalnego widoku absolutnego – istnieje tylko lokalna agregacja sąsiedztw. Perspektywa obserwatora w punkcie v ∈ V jest wyznaczana przez podgraf indukowany na N_ε(v) (kulę sąsiedztwa o promieniu ε w sensie wagi krawędzi).

Globalna „tablica danych” jest więc sheafem na tym grafie: lokalne sekcje (perspektywy kamery/detektora) sklejane na przecięciach z zachowaniem spójności (warunek cocykliczny). Nie ma absolutnego „z góry” – jedynie spójna agregacja lokalnych rzutów Finslerowskich.

To podejście jest całkowicie niezależne od wyboru metryki bazowej: metryka (Riemann/Finsler/ultrametryczna) pojawia się dopiero jako emergentna własność po wybraniu funktora z kategorii 𝒞 do kategorii metrycznych.

——————————————
I tu naturalnie przechodzimy do pytania jak dobrać te parametry agregacji i projekcji by Einstein był syty i Shrodinger cały.
Akurat nie robiłem tego do fizyki tylko do danych, ale też działa. Skupmy się na samej matematyce, bez odniesień do fizyki, choć te narzucają się same, ale wyłącznie dlatego, że dowolne real world data są sprzężone (świat jest spójny jak się wydaje) i nie zawierają celowych ciekawostek matematycznych (jak cofint), które uniemożliwiają budowę grafu.
Lemma takiej agregacji jest tutaj:
https://entropment.com/media/downloads/PAPERS_Hierarchical_Metric_Flow_on_Data_Graphs.txt

A tutaj w punkcie szóstym:
https://entropment.com/media/downloads/PAPERS_appendix_implementations_1_for_Hierarchical_Metric_Flow_on_Data_Graphs.txt
uogólnienie Fishera pozwalające wybrać sweetspot, gdzie jeszcze mamy wyniki ciągłe, ale już granulowane.
I to wszystko można dość prosto skonstruować przy użyciu cyrkla i bez linijki, wystarczy mieć cyrkiel kreślący nieskończenie blisko siebie nieskończenie wielkie okręgi.

Parametryzacja agregacji i projekcji:
Główny lemat (Prefix–Ultrametric Equivalence)
Niech adresy danych będą ciągami symboli a(x) = (a₁, a₂, …), a L(x,y) długością wspólnego prefiksu. Wtedy metryka
d_λ(x,y) = e^{-λ L(x,y)}, λ > 0

jest ultrametryczna:
d(x,z) ≤ max(d(x,y), d(y,z)).
Najbliższy sąsiad NN(x) = arg max_y L(x,y). Kule metryczne B_r(x) pokrywają się z poddrzewami prefiksu (hierarchiczna agregacja).

Hierarchiczna agregacja (renormalizacja)
x^{(l+1)}(v) = R_{w(v)} ( {x^{(l)}(u) : u ∈ N(v)} ),

gdzie R_w to uogólniona średnia mocy
R_w(y₁, …, y_k) = ( ∑_{i=1}^k α_i(w) |y_i|^w )^{1/w},

a waga w(v) zależy od lokalnej entropii sąsiedztwa (lub |N(v)|):
w(v) = 1 + α H(N(v)).

Parametr λ działa jak czas dyfuzji / temperatura odwrotna / skala renormalizacji:
λ → 0 ⇒ metryka znika (reżim ciągły, Riemann/Einstein),
λ → ∞ ⇒ ultrametryczność + granulacja (reżim Schrödinger).

Uogólnienie Fishera – wybór sweetspota (punkt 6 appendix) p-rzędna skala Fishera:
I_p(λ) = E[ | (1/λ) ∂_λ log p |^p ].

Maksimum I_p(λ*) wyznacza skalę największej wrażliwości strukturalnej (RG-stable point). Akcja skali:
S(λ) = | λ ∂_λ A_λ |^p,

funkcjonal całkowy:
Z = ∫ e^{-S(λ)} (dλ / λ).

Przy λ* oba reżimy (ciągły i granulowany) koegzystują jednocześnie – dokładnie tam, gdzie agregacja grafu zachowuje jednocześnie topologię Riemanna (lokalnie) i ultrametryczność (globalnie).

Konstrukcja cyrklem (bez linijki)
Kolejne mikro-łuki o promieniach R_n → ∞ z naprzemiennymi znakami krzywizny ±1/R_n generują dokładnie adresy prefiksu A(v): każdy łuk definiuje kolejną „cyfrę” w hierarchii projekcji. Wspólny prefiks L(x,y) jest równoważny liczbie wspólnych łuków w superpozycji path-integralowej. Parametr λ jest naturalnie odwrotnością średniego promienia λ ∼ 1/⟨R⟩. Cała hierarchia metryczna i sweetspot λ* wyłania się wprost z geometrycznej konstrukcji cyrklem – bez założenia żadnej metryki z góry.

————————-

Użyliśmy w tej zabawie liczbami cyrkla, ponieważ służy on do kreślenia sfer (akurat sfera 2d to okrąg). W przeciwieństwie do linijki jest on wyłącznie skalaremm nie wektorem. I jako taki służy do mierzenia odległości niezależnie od metryki. Można nim nawet mierzyć odległość w grafie, choć wydaje się to nieintuicyjne, ale jest po prostu liczbą krawędzi między nodami. Cyrkiel jest podstawowym narzędziem konstrukcyjnym do liczb, jest to po prostu sfera, niezależnie jak w danej metryce byłaby zdeformowana przeciwko intuicji.

Na koniec wypadałoby odetchnąć przy jakimś żarcie…
Czy Wszechmogący nie mógł stworzyć takiej linijki, którą sam oceniłby jako prostą? Bo miał wyłącznie cyrkiel, ale dość eliptyczne te okręgi wychodziły?